domingo, 5 de octubre de 2014

funciones cubicas


función cubica


Una función cúbica es una función polinómica de grado 3. Las funciones cúbicas tienen expresiones del tipo:
Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una función cúbica vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones cuadráticas.
EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.
La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una función podemos definir una nueva función, la función derivada de la función original.
El proceso de encontrar la función derivada de una función se llama diferenciación.
El valor de la función dericada para cada valor de x es la pendiente de la función original en x.
Para representar la derivada en un punto podemos dibujar la recta tangente a la gráfica de una función cúbica en ese punto:
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: recta tangente a una función cúbica en un punto | matematicasVisuales
Pero, ¿cómo podemos dibujar la tangente? Podemos usar una lupa. Si miramos muy cerca el punto en la gráfica de la función podemos ver cómo la recta tangente es muy semejante a la función. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función en ese punto:
Polinomios y derivada. Polinomios de Lagrange: La función se parece a la recta tangente cuando miramos muy cerca (la recta tangente es la mejor aproximación lineal)| matematicasVisuales
Entonces podemos dibujar una recta paralela a esta tangente a través del valor x-1 y obtenemos un triángulo rectángulo:
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: dibujando la derivada de una función cúbica | matematicasVisuales
La derivada de una función cúbica es una función cuadrática.
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: la función derivada de una función cúbica es una función cuadrática, una parábola | matematicasVisuales
Un punto crítico es un punto en el que la tangente es paralela al eje de abcisas (eje x). Es decir, que la pendiente de la recta tangente en ese punto es 0.
En el siguiente ejemplo podemos ver una función cúbica con dos puntos críticos. Uno es un máximo local y el otro es un mínimo local. En estos puntos, la función derivada (una parábola) corta al eje x:
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: puntos estacionarios de una función cúbica (donde la derivada corta al eje de abcisas) | matematicasVisuales
Estos puntos críticos son puntos en los que la función deja de crecer o decrecer (también se les llama puntos estacionarios). En estos puntos, la recta tangente es horizontal.
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: en los puntos críticos o estacionarios la tangente es horizontal | matematicasVisuales
Para encontrar los puntos estacionarios podemos resolver la ecuación cuadrática:
En este caso, las soluciones de esta ecuación son:
Como ya sabemos (funciones cuadráticas), algunas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones reales (la parábola no corta al eje de las x). En estos casos la función cúbica no tiene puntos críticos:
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: una función cúbica que no tiene puntos críticos | matematicasVisuales
Pero una parábola siempre tiene un vértice. El vértice de la parábola está relacionado con un punto de la función cúbica. Llamamos a este punto un punto de inflexión.
Un punto de inflexión de una función cúbica es el único punto de la gráfica en el que cambia la concavidad.
La curva cambia de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, o viceversa.
La recta tangente a una función cúbica en el punto de inflexión cruza la gráfica:
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: La recta tangente en un punto de inflexión corta al gráfico de la función | matematicasVisuales
Para calcular el punto de inflexión podemos calcular el vértice de la parábola:
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: el punto de inflexión se corresponde con el vértice de la derivada | matematicasVisuales
Este es un ejemplo de un punto de inflexión de una función cúbica que no tiene puntos críticos:
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión de una función cúbica sin puntos críticos | matematicasVisuales
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión de una función cúbica sin puntos críticos, la recta tangente corta la gráfica | matematicasVisuales
Polinomios y derivada. Funciones cúbicas: punto de inflexión de una función cúbica sin puntos críticos y el vértice de la función derivada | matematicasVisuales

funciones cuadraticas

1
1. y = −x² + 4x − 3
1. Vértice
x v = − 4/ −2 = 2     y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1        V(2, 1)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² − 4x + 3 = 0
ecuación       (3, 0)      (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
(0, −3)
parábola 
2_  y = x² + 2x + 1
1. Vértice
x v = − 2/ 2 = −1     y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0        V(− 1, 0)
2. Puntos de corte con el eje OX.
x² + 2x + 1= 0
ecuación Coincide con el vértice: (−1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY.
 (0, 1)


parábola

funciónes lineales

Ejemplo

y = 2x
x01234
y = 2x02468
gráfica

 y = 2
función
2 y = −2
función
3y = x
xy = x
00
11
función
4y = 2x − 1
xy = 2x −1
0−1
11
función
5y = −2x − 1
xy = −2x −1
0−1
1−3
función
6y = ½x − 1
xy = ½x − 1
0−1
20
función
 

lunes, 25 de agosto de 2014

Intervalos

  • X<4 = (x<4)
  • X<4= (x<4]
  • X>1/2 = (x>1/2)
  • X>1/4=[ X>1/4)
  • X<4/8 = (x<4/8]
  • X>6= [x>6)

  • X<3/6= (x<3/6]
  • X>2/5= (x>2/5)
  • X<5= [x<5)
  • X<5 = (x<5)
  • X<6/8= (x<6/8]
  • X<8/6= (x<8/6]
  • X>4/4= [x>1)



Ejemplos de desigualdades

  • X+10-25>3+2x=  -x>18


  • x-9>9x-9x+4=  x>13


  • 2x-4>3x+1= -x>5


  • x-6<2x+16>12= -x<22>12


  • 2+7x<3x-10= 4x<-12   x<-3


  • 7<6x-2<9= 9<6x<9= 9<6x<11



  • 3(2x-1)>4+5(x-1) =x>2

domingo, 3 de agosto de 2014

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Propiedad de la cerradura

La propiedad de la cerradura dice que puedes sumar o multiplicar dos o más números reales, y el resultado será siempreun número real.  Por ejemplo:
2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2+7=9, \; \;  9 \in \mathbb {R}
2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2 \cdot 7=14, \; \;  14 \in \mathbb {R}
Importante:
La propiedad de la cerradura también aplica para la substracción pero NO para la división, no se puede dividir entre cero.
2,7 \in \mathbb {R}, \; \; 2-7=-5, \; \;  -5 \in \mathbb {R}

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:
6+7=7+6=13
6 \cdot 7=7 \cdot 6=42
Importante:
La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.
6-7  \neq 7-6
\frac {6}{7}  \neq \frac {7}{6}

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:
3+(4+5)=(3+4)+5=12
3 \cdot (4 \cdot 5)=(3 \cdot 4) \cdot 5=60
Importante:
La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.
3-(4-5) \neq (3-4)-5
3 \div (4 \div 5) \neq (3 \div 4) \div 5

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar  las operaciones aritméticas.
3 \cdot (4+5)=(3 \cdot 4) + (3 \cdot 5)=27

Propiedad de identidad (elemento neutro)

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma:
25+0=25, el elemento neutro de la adición es el número CERO.
La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación:
25 \cdot 1=25, el elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.
28+(-28)=0   el inverso aditivo para esta suma es el número -28
La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.
28 \cdot \left ( \frac{1}{28} \right )=1,   el inverso multiplicativo para esta multiplicación es \frac{1}{28}



NUMEROS REALES

NUMEROS REALES

Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.


El conjunto de los números reales

Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos. )
Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. .
Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma , donde m y n son enteros .
Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.

programa de calculo